La importancia de la distribución se pone de
manifiesto ante las variadas disciplinas del quehacer humano en las cuales este
concepto está involucrado, en forma definida o implícita. Así, la distribución
en el campo de las ciencias exactas remite a los parámetros estadísticos de la distribución
de probabilidades de las variables aleatorias, entendida como una función que
permite asignar a ciertos sucesos definidos la probabilidad
de que esos sucesos tengan lugar.
La distribución normal es posiblemente la distribución
de probabilidad más conocida y más aplicada en el campo de la estadística
debido a que una gran cantidad muy grandes de fenómenos reales pueden
explicarse mediante este modelo de probabilidad.
Dicha distribución debe su origen al matemático
francés Abraham De Moire, en 1733, y son figuras importantes en su desarrollo
histórico Pierre Laplace, en 1744, y Carl Gauss, en 1809 y 1816. Es a través de
este último que la distribución normal alcanzó mayor notoriedad, ya que él la desarrollo como la “ley normal
de los errores de mediciones” particularmente en relación a observaciones
astronómicas”. La curva normal es ampliamente conocida como la curva de Gauss o
“Campana de Gauss”.
Como ya lo hemos dicho la importancia de la
distribución normal se debe, en primer lugar, a que muchas variables siguen,
aproximadamente, un modelo de probabilidad normal y esto ha ocasionado que en
las diferentes áreas del saber, su aplicación sea generalizada en relación a
este hecho hay que estar alerta y evitar incurrir en el error de creer que
todos los conjuntos de datos siguen una distribución normal, cuestión a la que
se tendían en el pasado. Actualmente se conoce como una compleja variedad de
casos donde el modelo normal resulta inadecuado y deben tratarse utilizando
otros tipos de distribuciones.
En segundo lugar, existe un resultado muy importante
con la distribución de normal conocido como Teorema central de limite, El cual
establece que para una muestra suficientemente grande, la media muestral X sigue una distribución
aproximadamente normal, independientemente del tipo de distribución que tenga
la población de la cual se extrae la muestra.
miércoles, 18 de febrero de 2015
Distribución de Probabilidad Continua
Distribución de Probabilidad Continua
Una variable aleatoria continua es una función X que asigna a cada resultado posible de un experimento un número real. Si X puede asumir cualquier valor en algún intervalo I (el intervalo puede ser acotado o desacotado), se llama una variable aleatoria continua. Si puede asumir solo varios valores distintos, se llama una variable aleatoria discreta. En el caso de una variable aleatoria continua no tiene sentido plantearse probabilidades de resultados aislados. La probabilidad de valores puntuales es cero. El interés de estas probabilidades está en conocer la probabilidad correspondiente a un intervalo. Dicha probabilidad se conoce mediante una curva llamada función de densidad y suponiendo que bajo dicha curva hay un área de una unidad. Conociendo esta curva, basta calcular el área correspondiente para conocer la probabilidad de un intervalo cualquiera. Sea X una variable aleatoria continua, se llama función de densidad y se representa como f(x) a una función no negativa definida sobre la recta real, tal que para cualquier intervalo que estudiemos se verifica:
P(X ∈ A) = ∫ f(x) dx
Ejemplos: temperaturas registradas cada hora en un observatorio, período de duración de un automóvil, el diámetro de las ruedas de varios coches, entre otros.
Distribución Normal
Distribución Normal
Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.Distribucion de T Student
Distribución T de Student
Es una distribucion de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una poblacion normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Ésta es la base de la popular prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones.
Ejercicios Propuestos de Probabilidad
Ejercicios de Probabilidad Normal
1. Las alturas de 300 estudiantes se distribuyen normalmente, con
una media igual a 172 cm, y una desviación típica de 7 cm. ¿Cuántos de
esos estudiantes tienen altura:
a) Mayor que 182 cm.
b) Menor que 163 cm.
c) Entre 163 y 181 cm.
d) Igual a 172 cm.
2. El coeficiente de inteligencia es una variable aleatoria
cuya distribución sigue una ley normal del tipo N(100, 16). Calcúlese:
a)
La probabilidad de que una persona determinada tenga
coeficiente superior a
125.
b)
El porcentaje de personas cuyo coeficiente está entre
84 y 120
c)
El porcentaje de personas con coeficiente inferior a
84.
2. El coeficiente de inteligencia es una variable aleatoria
cuya distribución sigue una ley normal del tipo N(100, 16). Calcúlese:
a)
La probabilidad de que una persona determinada tenga
coeficiente superior a
125.
b)
El porcentaje de personas cuyo coeficiente está entre
84 y 120
c)
El porcentaje de personas con coeficiente inferior a
84.
3. Se supone que las calificaciones de un examen se distribuyen
normalmente, con una media de 7,5 y una desviación típica de 1,5. Sabiendo que
se concede sobresaliente al
15% de los estudiantes que hicieron el examen, y que el 10%
de los estudiantes que lo hicieron no consiguen aprobar, dígase:
a)
la puntuación mínima exigida para obtener sobresaliente
b)
la puntuación mínima exigida para aprobar.
Soluciones:
1) 23, 17, 222
2) a. 0’0594 b. 39’54 c. 15’87%
3) a. 9 b. 5’5
Ejercicios de Probabilidad de Variable Continua
1. El plomo, como muchos otros elementos, está presente en
el medio natural. La revolución industrial y la llegada del automóvil han
incrementado la cantidad de plomo en el medio hasta el punto de que, en algunos
individuos, la concentración de plomo puede alcanzar niveles peligrosos. Un
estudio de campo sugiere que la concentración X de plomo en partes por millón
en la corriente sanguínea de un individuo es una variable normal con media 0’25
y desviación típica 0’11. Una concentración superior o igual a 0’6 partes por
millón se considera extremadamente alta.
a) ¿Cuál
es la probabilidad de que un individuo seleccionado aleatoriamente posea una
concentración de plomo de esta categoría?
b) En
una población de 7 millones de habitantes, ¿aproximadamente cuántos pueden
pertenecer a esa categoría de riesgo?
c) ¿Qué
porcentaje aproximado de individuos tienen concentraciones de plomo inferiores
a 0’45? ¿Qué porcentaje posee una concentración superior a 0’15?
d) ¿Cuál
es la probabilidad de que un individuo, tomado al azar, tenga una concentración
de plomo entre 0’30 y 0’50?
e) En
una población de 7 millones de habitantes, ¿aproximadamente cuántos tendrán una
concentración de plomo entre 0’10 y 0’45?
f) ¿Qué
porcentaje de la población tiene una concentración de plomo que se diferencie
de la media en menos de 0’1 partes por millón?
g) ¿Cuál
es la concentración de plomo por encima de la cuál está únicamente el 10% de la
población?
h) ¿Cuál
es la concentración de plomo por debajo de la cuál está únicamente el 5% de la
población?
2. Se tratan 120 ejemplares de una especie vegetal, todos
bajo la acción destructora de un mismo microorganismo, con un compuesto para
eliminar dicho microorganismo. Se observa que, en general, 4 de cada 10 mueren
antes de que el compuesto haya surtido efecto. Calcula la probabilidad de que:
a) Mueran
entre 60 y 90 ejemplares.
b) Mueran
menos de la mitad.
c) Mueran
más de 30 ejemplares.
3. La media de accidentes con un cierto impacto
medioambiental que se produce en un cierto país a lo largo de un año es de 25. Suponiendo
que el número de accidentes es una variable de Poisson, se pide:
a) Probabilidad
de que un año haya exactamente 30 accidentes.
b) Porcentaje
de años en los que se esperan menos de 30 accidentes.
c) Probabilidad
de que un año haya entre 20 y 40 accidentes.
Ejercicios de Probabilidad deT Student
1. Los valores de
las matriculas de estudiantes en una universidad privada tienen un
comportamiento aproximadamente normal, donde el promedio es de 2.100.000. Se
seleccionan 8 liquidaciones, siendo los valores los siguientes: 1.950.000,
2.100.000, 2.250.000, 1.890.000, 2.250.000, 1.950.000, 2.050.000, 2.350.000.
Determine la probabilidad de que:
a)
El promedio sea menor de 2.000.000.
b)
El promedio se encuentre entre 2.000.000 y 2.200.000
c)
El promedio sea mayor o igual a 2.500.000
2. Los puntajes de un grupo de estudiantes se comportan
normal, con promedio de 50, sin embargo, no se conoce la desviación. Se tomó
una m.a de 9 estudiantes encontrando una varianza de 36 y un promedio de 52.
Cuál es la probabilidad de que el promedio:
a)
Sea mayor de 54?
b)
Sea menor que 54?
c)
Esté comprendido entre 48 y 52 puntos?
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